La genialità delle tre leggi di Keplero e le relative deduzioni.

O.O. 323 – Rapporto delle diverse scienze con l’astronomia – 04.01.1921

 

Sommario: Ponte fra scienza dello spirito e il pensare ordinario. La genialità delle tre leggi di Keplero e le relative deduzioni. Le ipotesi per spiegare l’universo. La nebulosa di Kant-Laplace. La metodologia. La nebulosa rispetto a comete e meteoriti. La realtà e l’idea delle orbite elissoidali dei pianeti. Esse vanno invece pensate variabili. Il sistema planetario è vivente e mobile. I tempi di rivoluzione sono incommensurabili. Peter Hille. La conoscenza aritmetica del cosmo è inafferrabile, e la vita embrionale umana esce dall’inafferrabilità geometrica per entrare nella forma afferrabile. L’applicazione della matematica. I postulati della matematica e gli assiomi. Confronto con il principio d’inerzia.

 

Se avessi il compito di esporre secondo la scienza dello spirito quel che voglio dire, dovrei partire da altre premesse; in un certo senso arriverei anche più rapidamente allo scopo che ci siamo prefissi. In questo modo non risponderemmo però alle intenzioni di questo ciclo di conferenze. Vogliamo infatti costruire un ponte verso la forma consueta del pensiero scientifico, anche se ho scelto argomenti difficili, ossia quelli in cui l’attuale pensiero scientifico è più lontano da un punto di vista aderente alla realtà. Però, anche se dobbiamo combattere punti di vista irreali, si vedrà come si possano abbandonare le teorie moderne poco soddisfacenti per ottenere la visione reale dei fatti. Dirò oggi come si siano pensati in tempi recenti i fenomeni celesti.

 

Dobbiamo tener presenti due cose; anzitutto, che quei pensieri derivano da osservazioni dei fenomeni celesti alle quali sono state aggiunte teorie, a volte complicatissime e formulate in base a osservazioni in parte insufficienti. Questo è il primo punto. Il secondo è che dopo che si è giunti a determinate osservazioni, le si è sviluppate in ipotesi. Elaborandole, si arriva alla costruzione di una data immagine del cosmo nella quale però vi è qualcosa di arbitrario, perché nelle teorie rimangono i preconcetti di chi le costruisce.

 

Desidero comunque far presente qualcosa che può sembrare paradossale, ma che si dimostrerà utile in seguito per esaminare con precisione i problemi. Nella scienza moderna predomina quella che si può chiamare, e anzi è stata chiamata, la regula philosophandi. Essa dice che ciò che in un campo della scienza può esser fatto risalire a determinati principi, può esser ricondotto agli stessi principi anche in altri campi della realtà. Con questa regola si parte da qualcosa di noto, di evidente. Ad esempio, i newtoniani dicono: il processo della respirazione deve avere le stesse origini nell’animale e nell’uomo; l’accensione di un truciolo ha le stesse cause in America o in Europa. Fin qui le cose rimangono nel campo dell’evidenza. Poi, però, si fa un salto che non si nota e che anzi è considerato un passaggio normale. Lo vediamo in chi pensa in questo modo: se una candela è accesa e il Sole splende, la causa deve essere la stessa; se un sasso cade in Terra e la Luna ruota attorno alla Terra, la forza che li muove è la stessa. A questa considerazione se ne aggiunge un’altra: non si possono ottenere chiarimenti nel campo dell’astronomia, se non partendo dalle leggi terrestri. Non si potrebbero dunque formulare teorie astronomiche, se nel cosmo vi fossero causalità diverse da quelle della Terra.

 

Teniamo però conto che la regula philosophandi è solo un preconcetto. Infatti, chi può garantire che la luce della candela e quella del Sole abbiano la stessa origine? che la caduta di un sasso (o della famosa mela di Newton) abbiano la stessa causa del movimento degli astri? Tutto è ancora da stabilire, sono tutti preconcetti. Se ne trovano sempre, nei casi in cui le osservazioni sono legate per induzione a considerazioni teoriche, a pensieri dai quali si passa poi ciecamente a deduzioni, partendo dalle quali si costruiscono sistemi cosmici.

 

Ciò che ora sto caratterizzando in modo astratto è però un fatto storico.

Troviamo infatti un’evoluzione continua in ciò che, all’inizio dei tempi moderni, grandi spiriti quali Copernico, Keplero, Galileo dedussero da poche osservazioni. Specialmente a proposito della terza legge di Keplero, indicata ieri, dobbiamo dire che vi è qualcosa di straordinario nell’analisi dei fatti di cui lui solo poteva disporre. Keplero mise in atto una grande forza spirituale quando, sulla base del poco che conosceva, scoprì la “legge”, o meglio il “concetto complessivo” in merito ai fenomeni celesti. Ne segue però un’evoluzione che passa per Newton e che non si fonda più su vere osservazioni, ma piuttosto su basi teoriche, costruendo tutta una serie di concetti di masse e di forze da cui però dobbiamo prescindere, se vogliamo rimanere nella realtà. Il processo poi continua, ed è portato addirittura a culmini di genio ed acutezza quando si arriva alla spiegazione dell’origine del cosmo secondo Laplace. Ci se ne può convincere leggendo la sua celebre opera Exposition du système du monde, o la Storia universale della natura e teoria del cielo di Kant. Negli studi che seguirono, vediamo che dalle idee che ci si faceva dei rapporti fra i movimenti degli astri si voleva risalire all’origine del sistema cosmico, all’ipotesi della nebulosa e così via.

 

Va tenuto presente che nel corso dell’evoluzione vi è qualcosa che deriva da induzioni davvero geniali e dalle conseguenti deduzioni, nelle quali però ogni pensatore introdusse quel che gli stava più a cuore. Si può quindi dire che chi pensava in modo materialistico introduceva nel concetto dedotto idee materialistiche. Così però non parlano più i fatti, e ci si fonda su ciò che si è dedotto da una teoria. Possiamo allora dire: fu formata induttivamente l’immagine del Sole come centro di gravitazione di pianeti che ruotano in ellissi secondo una data legge, con raggi vettori che descrivono settori uguali in tempi uguali. Osservando i singoli pianeti del sistema solare, se ne poterono riassumere i rapporti reciproci secondo la terza legge di Keplero; per i vari pianeti, i quadrati dei tempi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole.

 

Si ebbe così una determinata immagine, ma non si sapeva se essa corrispondesse esattamente alla realtà, o se fosse un’astrazione tratta dalla realtà. Non si poteva sapere quale fosse il rapporto tra quell’immagine e la realtà. Però da quell’immagine, e non dalla realtà, si dedusse tutto ciò che in sostanza è diventato un’astronomia genetica. Tutto ciò non va dimenticato. L’uomo moderno è educato sin dall’infanzia a vedere come reale ciò che in qualche modo fu dedotto alcuni secoli fa.

 

Noi vogliamo però riferirci a cose realmente scientifiche, per quanto possibile prescindendo da ipotesi e teorie, e seguire idee alle quali si possa riconoscere un rapporto con realtà che si potranno scoprire più tardi. Oggi dunque seguirò il pensiero scientifico moderno fino a quei concetti che, presi appunto come tali, permettono di ritrovare la via per la realtà. Non mi allontanerò mai tanto dalla realtà, in modo che i concetti non diventino approssimativi e non se ne possano dedurre ipotesi di nebulose.

 

Se vogliamo oggi condurre così le nostre osservazioni, possiamo dire: seguendo i concetti moderni in questo campo, dobbiamo anzitutto fissarne uno che si era presentato a Keplero in modo induttivo e che era stato poi ulteriormente sviluppato e studiato. Ancora una volta ricordo che seguirò questo concetto solo fino al punto in cui, anche se fosse falso nella sua concezione, sia così poco discosto dalla realtà da poterne eliminare gli errori per ricondurvelo. Dobbiamo avere una certa sensibilità per le sfumature di realtà che ancora traspaiono dai concetti che si usano.

Non possiamo procedere diversamente, se vogliamo creare un ponte fra ciò che corrisponde alla realtà e le teorie moderne immesse nella scienza.

Dobbiamo ora partire dal concetto secondo cui i pianeti hanno orbite eccentriche, cioè descrivono ellissi. Possiamo a tutta prima affermare che i pianeti hanno orbite eccentriche, descrivono ellissi, e che il Sole si trova in uno dei fuochi. I pianeti descrivono le loro orbite secondo la legge per cui i raggi vettori descrivono settori uguali in tempi uguali.

 

Altra importante cosa da tener presente è che ogni pianeta ha un proprio piano di eclittica. Quindi, anche se i pianeti compiono le loro rotazioni per così dire l’uno vicino all’altro, determinano ciascuno un proprio piano di eclittica che è inclinato rispetto al piano dell’equatore solare. In effetti, se il piano dell’equatore è come nel disegno, il piano dell’eclittica di un pianeta non coincide con quello dell’equatore solare.

 

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Sono due importanti immagini che si devono ricavare dall’osservazione. Tenendole presenti, occorre notare qualcosa che quasi le contraddice nell’immagine reale del cosmo. Pensando il nostro sistema solare nella sua totalità, basandosi solo su quelle due rappresentazioni (i pianeti si muovono secondo orbite eccentriche e le loro eclittiche hanno inclinazioni diverse rispetto all’equatore solare), e volendole far valere come leggi, non le si potrebbe applicare al movimento delle comete. Appena si studiano le comete, le leggi non bastano più. Le conseguenze appaiono più chiaramente dai fatti storici che non dalle teorie.

 

Kant, Laplace e i loro continuatori avevano formulato l’ipotesi delle nebulose dalla rappresentazione delle orbite planetarie vicine al piano equatoriale del Sole, orbite che sono ellissi eccentriche. Seguiamo ora che cosa è accaduto. Volendo, ma solo volendo, si può pensare una specie di storia dell’origine del sistema solare. Il sistema cosmico così costruito non dà però mai alcuna spiegazione soddisfacente circa il ruolo che vi hanno le comete. Queste sono sempre escluse dalla teoria. La loro esclusione dalle teorie, come la si evince dal cammino della storia, non è altro che una prova del ribellarsi della vita delle comete contro un concetto che è stato costruito non partendo dalla totalità ma solo da una parte. Così ci deve essere chiaro che le orbite delle comete più di una volta forse si intersecano con altri corpi che interagiscono anch’essi nel nostro sistema e che ci appaiono come enigmi proprio per la loro qualità di accompagnatori delle comete. Sono gli sciami di meteoriti che molto spesso, probabilmente sempre, hanno orbite che coincidono con quelle delle comete. Così vediamo agire nella totalità del nostro sistema qualcosa che ci porta a dire: dall’osservazione del complesso del nostro sistema, a poco a poco si è formato un insieme di rappresentazioni con le quali però non ci si spiega le comete e gli sciami di meteoriti, che attraversano tale sistema irregolarmente e quasi arbitrariamente.

 

Sfuggono infatti a quel che si può ancora comprendere con le rappresentazioni astratte del sistema. Dovrei fare una lunga trattazione storica se volessi mostrare nei particolari come si incontrano sempre reali difficoltà quando i ricercatori, o meglio gli studiosi, vogliono applicare le teorie astronomiche alle comete e agli sciami di meteoriti. Desidero però solo indicare la direzione che porta a concetti sani. Vi arriviamo, se teniamo conto ancora di qualcos’altro.

 

Proviamo a tornare per un momento ai concetti che conservano ancora una parte di realtà. Lo si deve sempre fare nei confronti del mondo esterno, quando non si vuol finire col trovarsi troppo lontani dalla realtà, come invece si tende a fare. Si deve sempre tornare un poco indietro. E già molto rischioso partire dal concetto dei pianeti che descrivono ellissi, e costruirvi sopra teorie. È molto meglio, una volta formulato questo concetto, tornare alla realtà per vedere se non lo si debba correggere, o almeno modificare. Questa è la cosa più importante. In campo astronomico è del tutto evidente.

 

In biologia e specialmente in medicina si commette sempre l’errore di non tornare a riferire alla realtà il concetto formulato, per vedere se è necessaria una correzione.

 

I pianeti, dunque, si muovono lungo ellissi, ma queste sono variabili, a volte tendono più alla circonferenza, a volte sono più allungate. Lo si constata passando dal concetto di ellisse alla realtà. Nel corso del tempo un’ellisse si arrotonda, diventa quasi un cerchio, poi ritorna ellisse. Non corrisponde quindi del tutto alla realtà, dire che i pianeti si muovono lungo ellissi. Devo modificare il concetto e dire: i pianeti si muovono in orbite che lottano di continuo per non diventare un cerchio o restare un’ellisse. Se disegno un’ellisse, devo immaginarla come un elastico, come qualcosa di continuamente variabile. Se calcolo un’ellisse giusta per una rivoluzione del pianeta, essa non corrisponde già più alla rivoluzione seguente, e ancora meno a quella successiva. Non posso quindi rimanere ancora nella realtà, se da essa passo al rigido concetto. È un primo fatto.

 

Un altro è, come abbiamo detto, che i piani orbitali dei pianeti sono inclinati rispetto al piano dell’equatore solare. Poiché i pianeti vanno verso l’alto o verso il basso nei punti di intersezione, diciamo che formano nodi. Questi però non sono punti fissi. Le linee che uniscono quei nodi (nel disegno precedente K-K1) sono variabili, come le inclinazioni dei piani fra loro. Anche tali inclinazioni quindi ci costringono a modificare il rigido concetto, se lo confrontiamo con la realtà. Se infatti un’orbita è inclinata prima in un modo e poi in un altro, tutti i concetti formulati vanno modificati. Certo, a questo punto ci si può lasciar prendere dalla pigrizia e dire: nella realtà esistono variazioni; i nostri concetti colgono la realtà solo in modo approssimativo. Così si può continuare a sguazzare pigramente nelle teorie. Vi si sguazza però fino al punto in cui, volendo costruire immagini dalla teoria, esse non corrispondono più alla realtà.

 

Naturalmente, è facile ammettere che le alterazioni delle orbite, le inclinazioni dei piani orbitali devono pur in qualche modo essere in relazione con la vita, con l’attività del sistema planetario. Devono dipendere in qualche modo da tutto l’insieme. Questo è ovvio. Se però si vuole di nuovo costruire partendo dal concetto, se cioè ci si dice: mi muoverò col pensiero in modo da immaginare le ellissi in continua dilatazione e contrazione, i piani delle orbite con inclinazioni continuamente variabili e potrò costruire su queste basi un sistema planetario corrispondente alla realtà, allora, portando questo concetto alle estreme conclusioni, si avrà un sistema planetario che non regge.

 

Sommando le alterazioni che si producono, specialmente in conseguenza dello spostamento dei nodi, il sistema planetario andrebbe di continuo incontro alla sua morte, alla rigidità. Ma allora varrebbe ciò che hanno sempre detto i filosofi. Un sistema come questo avrebbe in realtà già avuto il tempo di arrivare alla sua fine. Non c’è ragione per cui ciò non debba essere vero. Saremmo arrivati al compimento dell’infinito, e l’irrigidimento avrebbe già dovuto aver luogo. Dobbiamo renderci conto che così arriviamo a un campo nel quale in apparenza anche il pensiero è rigido. Poiché proprio seguendo il mio pensiero fino all’ultimo, ottengo un sistema cosmico fermo e rigido, ed esso non è la realtà.

 

Però c’è ancora dell’altro, ed è qualcosa che dobbiamo tener presente in modo speciale. Continuando a seguire questi pensieri (specialmente secondo l’ipotesi di Laplace, e osservandone solo le manifestazioni) si deduce che un sistema cosmico del genere, pur con le alterazioni dovute alla variabilità dei nodi, non è arrivato alla rigidità perché frapporti dei tempi di rivoluzione dei pianeti non sono numeri commensurabili, ma grandezze incommensurabili, numeri con infiniti decimali. Si arriva quindi a dire che, se si paragonano i tempi di rivoluzione dei pianeti secondo la terza legge di Keplero, si vede che i loro rapporti non possono essere espressi né con numeri interi, né con frazioni finite, ma solo con numeri incommensurabili, che non possono essere finiti. Di conseguenza l’astronomia moderna sa che il sistema planetario deve la sua mobilità a questa circostanza dell’incommensurabilità dei rapporti dei tempi di rivoluzione anche nella terza legge di Keplero, altrimenti esso si sarebbe già fermato da tempo.

 

Poniamoci ora tutto ciò ben chiaramente davanti agli occhi: noi arriviamo infine a dover fissare in numeri quel che in concetti abbiamo elaborato del sistema planetario, in numeri che non possiamo più comprendere, e la cosa è molto significativa. La stessa evoluzione scientifica ci porta di necessità a pensare sul sistema planetario matematicamente, ma in modo che questa matematica non sia più commensurabile. Nel momento in cui appare l’incommensurabilità, però, ci troviamo in un luogo ove, secondo l’evoluzione matematica, dobbiamo approdare a un numero commensurabile. Noi lasciamo il numero incommensurabile, scriviamo la frazione decimale, ma fino a un certo punto; il numero incommensurabile lo lasciamo da parte. Quando arriviamo all’incommensurabilità dobbiamo interromperci e abbandonare il calcolo. I matematici tra i presenti se lo potranno spiegare; vedranno che c’è qualcosa di incomprensibile col numero incommensurabile, quando dico: io calcolo fino a qui e poi devo ammettere di non poter andare oltre.

 

Mi si scusi se ora mi servo di un paragone un po’ buffo per un argomento serio, ma la necessità di soffermarmi sulla matematica mi ricorda una scenetta accaduta a Berlino. Allora andavano di moda piccoli spettacoli messi in piedi da una persona sola. Una di queste era Peter Hille. Aveva fondato il suo teatrino nel quale leggeva le proprie opere. Era una bravissima persona, teosofo per disposizione interiore e anche un po’ bohemien. Assistei una volta alla recitazione di sue poesie. A una di queste mancavano dei versi, e lui ce la lesse in questo modo:

«Sorse il Sole… e così via» (primo verso)

«Sorse la Luna… e così via» (secondo verso).

Finiva ogni verso con un «e così via».

 

Assistei a quella lettura di versi che in fondo era anche stimolante: ognuno poteva completarli come voleva. Non è certo questo il caso per i numeri incommensurabili; però, quando vi si arriva, i procedimenti successivi possono solo essere indicati. Si può solo dire che si continua in quella direzione; nulla ci è dato che ci permetta di pensare quali numeri seguiranno. È importante notare che proprio nello studio dell’astronomia siamo condotti all’incommensurabilità, e che quindi non possiamo far altro che arrivare al limite del calcolo matematico, tanto che a quel punto ci sfugge la realtà e non siamo in grado di dire altro. La realtà ci viene a mancare.

 

Che cosa significa? Applichiamo la nostra scienza più sicura, la matematica, ai fenomeni celesti, ma essi non si piegano alla nostra scienza più sicura, a un certo punto ci sfuggono. Proprio dove comincia la vita essi scivolano nel campo del non commensurabile. Abbiamo dunque fenomeni tali per cui a un certo punto la comprensione della realtà viene meno, la realtà piomba nel caos. Non possiamo dire a priori: cosa fa questa realtà, che noi seguiamo con la matematica, quando si infila nell’incommensurabilità? Certo fa qualcosa che è collegato con la sua facoltà di vita. Dobbiamo dunque uscire dalle nostre sicurezze matematiche, quando entriamo nella realtà astronomica. Lo mostra il calcolo stesso, lo mostra la stessa evoluzione della scienza. Su punti del genere occorre riflettere, se si vuole sviluppare lo spirito restando aderenti alla realtà.

 

Vorrei ora mostrare l’altro polo della faccenda. Seguendola fisiologicamente, si può partire da un punto qualsiasi dell’evoluzione dell’embrione, sia esso l’embrione umano al secondo o al terzo mese, sia l’embrione di un altro essere. Si può procedere a ritroso e vedere, per quanto ciò sia possibile con i mezzi attuali della scienza (e lo è in misura limitatissima, come sanno i competenti nel campo), e nella misura in cui ci si sia fatti idee sufficientemente valide al riguardo, che si può risalire fino a un certo punto, fino al distacco dell’uovo non fecondato, ma non oltre. Volendo risalire ancora, si arriva all’indefinito di tutto l’organismo materno. Si entra cioè in una specie di caos. Non lo si può evitare; e che non lo si possa, lo mostra il cammino di evoluzione della scienza. Prego di ricordare l’ipotesi della panspermia e altre simili, in cui è stato discusso se l’uovo abbia origine dalle forze dell’intero organismo, secondo il punto di vista darwiniano, oppure se sia prodotto dai soli organi sessuali. Seguendo l’evoluzione scientifica in questo campo si vedrà che vi è entrata molta fantasia. Quando si studia la formazione dell’uovo materno, si arriva all’incertezza completa riguardo a quali siano le basi della sua genesi. In merito oggi la scienza si limita a fare congetture sul rapporto fra uovo e organismo materno.

 

A un ben determinato momento però il germe di uovo si presenta in una forma cui ci si può avvicinare almeno un po’ con la matematica, o almeno con la geometria. Da un certo momento in poi si possono far disegni, come quelli che esistono in embriologia. Si può disegnare il germe dell’uovo, la cellula, e seguirne lo sviluppo, più o meno nella sua realtà. Si arriva così a presentare qualcosa che richiama la geometria e che si può esprimere in forme. Qui si segue una realtà. In un certo senso, è il contrario di ciò che abbiamo visto con l’astronomia ove, cercando di conoscere una realtà, finiamo in un numero incommensurabile; l’intero processo ci sfugge verso il caos a causa dello stesso metodo conoscitivo. Nell’embriologia usciamo dal caos. A un certo momento ci è possibile afferrare ciò che emerge dal caos in determinate forme che richiamano la geometria.

 

In un certo senso possiamo dire che nel processo conoscitivo, matematizzando, mediante l’astronomia arriviamo al caos; e con la sola osservazione in effetti nell’embriologia non abbiamo altro che caos (abbiamo un caos quando con l’osservazione non si può più progredire), ma usciamo dal caos se entriamo nella geometria. E infatti un ideale assai giustificato di certi biologi, comprendere in modo geometrico i processi dell’embriologia, non solo presentandone le figure come immagini naturalistiche dello sviluppo embrionale, ma costruendole secondo una legge interiore, analoga alle leggi che seguono le figure geometriche. Questo è un ideale giustificato.

 

Possiamo dunque dire: in quanto seguiamo la realtà con l’osservazione, arriviamo a qualcosa che a tutta prima è tanto lontano dalla nostra conoscenza quanto lo è il numero incommensurabile in astronomia. Da un lato abbiamo portato la nostra conoscenza sino a un punto oltre il quale non si procede con la matematica; e dall’altro a un certo punto abbiamo potuto cominciare a raccogliere conoscenze in embriologia inserendovi qualcosa di analogo alla geometria. Prego di portare questo pensiero fino in fondo. Lo si può fare perché è un pensiero metodologico, vale a dire che la sua realtà è in noi.

 

Quando il calcolo ci porta al numero incommensurabile, cioè a un punto in cui non portiamo più la realtà dentro un numero che possiamo presentare come finito, la nostra ricerca deve cominciare in un altro campo (ce ne occuperemo in una prossima conferenza); vedremo allora se con il procedimento geometrico si ha lo stesso che con quello matematico, analitico. Il procedimento analitico porta a numeri incommensurabili. Ci si ponga dunque la domanda: in che modo le forme geometriche rispecchiano i movimenti degli astri? quelle immagini non ci portano fino a un punto analogo a quello a cui ci conduce l’analisi, quando dobbiamo entrare nell’incommensurabile? osservando i corpi cosmici, i pianeti, non arriviamo forse a un limite in cui dobbiamo ammettere di non poter più continuare con le rappresentazioni geometriche?

Potrebbe essere che, quando si deve lasciare il campo del calcolabile, si debba anche lasciare il campo in cui possiamo comprendere la realtà in forme geometriche, aritmetiche, algebriche, analitiche, in spirali e così via. Allora si entra nell’incommensurabile anche con la geometria, e si arriva così a una strana situazione. L’analisi non può ancora essere molto applicata all’embriologia, ma la geometria fa capolino un po’ misteriosamente non appena si cominciano a estrarre dal caos i fatti embriologici. Allora non si presenta tanto l’incommensurabile numerico, quanto ciò che esce dalla forma incommensurabile per entrare in quella commensurabile.

 

Abbiamo ora tentato di comprendere la realtà in due poli: uno, in cui il processo conoscitivo ci conduce dall’analisi all’incommensurabilità; l’altro, in cui l’osservazione ci porta dal caos a una comprensione della realtà in forme sempre più commensurabili. Queste sono le cose che dobbiamo senz’altro porci dinanzi all’anima con la massima chiarezza, se vogliamo riallacciare alle attuali conoscenze scientifiche una riflessione corrispondente a realtà.

 

Vorrei ora aggiungere un’osservazione metodologica per poter arrivare domani a cose più concrete. Tutto ciò che abbiamo detto finora, in certo modo ha avuto come presupposto il fatto che ci si è sempre avvicinati alle manifestazioni cosmiche da matematici; da cui è risultato che a un certo momento il matematico trova un limite, al quale giunge anche nella matematica formale. Nel nostro modo di pensare vi è qualcosa che forse si nota appena, perché si cela per così dire di continuo dietro la maschera dell’ovvietà; in effetti, non afferriamo il problema nel suo giusto verso.

 

Si tratta del problema dell’applicazione della matematica alla realtà. Come procediamo, infatti? Costruiamo la matematica come una scienza formale e, poiché ci sembra assolutamente sicura nelle sue conclusioni, la applichiamo alla realtà e non pensiamo che, in effetti, lo facciamo secondo determinate premesse. Oggi però si può già avere una base per riconoscere come noi applichiamo la matematica alla realtà solo secondo certe premesse. Lo vediamo quando la si vuol portare oltre determinati limiti. Ciò avviene perché si formulano leggi che non appartengono alla realtà esteriore (come ho mostrato riassumendo le leggi di Keplero), ma al processo matematico stesso, e che in effetti non sono altro che leggi induttive, ottenute dalla matematica. Le si utilizza poi in modo deduttivo, costruendovi sopra ulteriori teorie matematiche.

 

Chiunque si occupi di matematica incontra quelle leggi. Il nostro amico Bliimel parlò di questo andamento degli studi matematici nelle sue conferenze a Dornach. Una legge di questo tipo è quella che chiamiamo commutativa; la si può esprimere dicendo che è evidente che

a + b = b + a      oppure      a b = b a

È evidente, finché si rimane nei numeri reali. Ma appunto è solo una legge induttiva derivata dall’uso dei postulati di calcolo con numeri reali.

La seconda legge è quella associativa, che possiamo esprimere così:     (a + b) + c = a + (b + c).

Di nuovo è una legge derivata dall’uso dei postulati di calcolo con numeri reali.

La terza legge è quella distributiva; la si esprime così:      a (b + c) = ab + ac.

Ancora è una legge ricavata induttivamente dall’uso dei postulati di calcolo con numeri reali.

La quarta legge può essere espressa così: un prodotto è uguale a zero se uno dei fattori è zero. Anche questa è però una legge induttiva derivata dall’uso dei postulati di calcolo con numeri reali. Abbiamo dunque queste quattro leggi che oggi sono alla base della matematica formale e si adoperano in molti modi. Non possiamo negare di arrivare con ciò a cose interessantissime.

 

Però la questione è che queste leggi sono valide fintanto che si resta nel campo dei numeri reali e dei loro postulati. Non si è mai pensato di verificare se ciò esprime la realtà. Secondo le nostre esperienze di tipo formale possiamo dire che a + b = b + ab valido, ma lo è anche nella realtà? Non vi è un motivo per cui debba esserlo anche nella realtà. Una volta potremmo anche rimanere sorpresi dal fatto di non aver ragione, se volessimo dire che in un processo della realtà non è valido. La questione presenta però anche un’altra faccia. Noi siamo attaccati a queste leggi e le applichiamo alla realtà, e dalla nostra osservazione esula ciò che non corrisponde a esse. Questa è appunto l’altra faccia. In altre parole, noi poniamo postulati che applichiamo alla realtà e che consideriamo assiomi della realtà stessa.

 

Potremmo dire soltanto: considero un determinato campo della realtà e guardo fino a che punto arrivo applicando l’espressione: . Di più non posso dire. Se infatti mi avvicino con tale espressione alla realtà, troverò tutto ciò che vi corrisponde, mentre respingerò con una gomitata tutto ciò che non vi corrisponde. E un’abitudine che abbiamo anche in altri campi. Diciamo ad esempio nella fisica elementare: i corpi hanno una facoltà di persistenza, una certa inerzia, e diciamo che l’inerzia consiste nel fatto che i corpi non abbandonano la propria posizione o non cambiano il proprio movimento senza una determinata spinta. Non è però un assioma, ma un postulato. Dovrei soltanto dire: chiamo corpo inerte quello che non altera il proprio stato di moto, e ricerco nella realtà che cosa corrisponde a quel postulato.

 

Dunque, quando formulo certi concetti, traccio in effetti solo linee direttive per definire in qualche modo con essi la realtà, ma devo tenermi aperta la possibilità di definire altri fatti con altri concetti. Considero in modo giusto le quattro leggi del calcolo numerico, se le vedo come qualcosa che mi indichi una direzione, come qualcosa che mi metta in grado di penetrare la realtà secondo una regola. Sbaglio, però, se credo che la matematica costituisca la realtà. In certi campi infatti la realtà mi darà torto. Una contraddizione del genere è quella di cui ho parlato: l’incommensurabilità che ci si presenta nello studio dei fenomeni celesti.